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剑桥数学博士郑乐隽：我也曾厌恶数学，然而“迟钝”一点的孩子，更像数学家

看点 数学是很多孩子头疼、害怕的学科，是不是只有天赋才能拯救？一直以来，剑桥数学博士郑乐隽都把“消除世界对数学的恐惧”视为终身奋斗事业。在她看来，讨厌数学的孩子更可能是教学方法不合适。眼下更紧迫的，不是怎么让孩子埋头刷题，而是从根本上改变对数学根深蒂固的种种错误印象。

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文丨柯察金 编丨Luna

国庆假期

不知何时起，要是说咱们的小孩学不好数学，那真有点放国际上都说不过去的感觉。

早在七、八年前，把教育做成产业的英国，居然开始大规模采用“亚洲传统数学教学方法”，并大力引进上海数学教材；国务大臣尼克·吉布甚至称，“中国的数学教学方法应成为英国学校的固定标准。”

然而， 抛开“东亚孩子数学强”的标签，或许只有咱们自己心里清楚，中国小孩学数学学得有多辛苦：

从绝对数量上看，“考霸”能有几个？大多情况下，学生不过是硬着头皮考试，硬着头皮考砸，在一轮又一轮恶性循环中挣扎上岸罢了。且正因国人常被视作数学尖子，考数学不好的孩子等同于被判了“不聪明”的酷刑。

外滩君好奇， 如果是数学家，会怎么看这个问题？就没有让大部分孩子学好且热爱数学的法子么？前几天和 英国华裔数学家、剑桥大学数学博士郑乐隽女士（Eugenia Cheng）聊了聊，感觉国内对数学教育的误解不浅。

郑乐隽博士（Eugenia Cheng）

图源© Brian McConkey

郑博士还是音乐、厨艺、语言等多方面的能手。举办过专业的钢琴、小提琴演奏会，能流利地说三门语言，也是烹饪达人。她曾在电视节目上“烘焙π”，用小提琴“演奏”函数……跟随她的脚步，数学王国有趣、浪漫且“美味”。

郑博士一针见血地指出， “认为东亚人很擅长数学”，实为社会刻板印象。在她所接触过的学生里，不少来自中国、韩国……但他们眼里有的只是对数学深深的恐惧。

郑乐隽掷出了振聋发聩的声音：

孩子擅长考试和擅长数学并无必然联系，而她作为数学家，其实并不欣赏“考霸”；

对于基础教育阶段的数学学习来说，不存在“不聪明”的孩子；

孩子们抗拒数学，不是他们不够勤奋，而是因为教育者对数学的看法，本身就出现了严重的误解和偏差……

“我的理想之一，就是帮所有孩子消除对数学的恐惧”，基于这个目标，她在任教、做研究之余，常年热衷于数学科普，笔耕不辍，是英国《卫报》等重要图书奖的常客。

最近一本《数学的逻辑》热乎面世，郑乐隽继续用诙谐的笔调，帮孩子用更开放的方式理解数学原理和公式，重新认识数学。

《数学的逻辑》，中信出版社

“我也曾厌恶数学”

如果你的孩子对数学的兴趣正处在“没精打采”期，不必太担心，因为孩子有可能正收获数学家同款进步曲线呢。

郑乐隽直言，在她十岁出头的时候，也曾非常厌恶数学。为此她还画了副颇形象的草图，表示随着时间的推移，她对数学课的复杂态度：

可以清晰看到，成也兴趣，败也兴趣。兴趣如同逆水行舟。如果教育的“打开方式”不当，即便是数学家也很有可能途中泄气。

01

“妈妈为我展示数学的奇妙屋”

5岁刚知道数学是怎么回事时，郑乐隽就对数学产生了好感。最初的引路人是妈妈。

郑乐隽小时候在英国的乡村长大，经常和妈妈在海边沙滩上一玩就是几个小时。陪伴童年的，除了英格兰的秀美风光外，还有妈妈带女儿看到的另一些“风景”—— 她们总在一起讨论有关数学的谜题。

作为孩子，第一次扣进数学半掩的门扉时，她看到的便是一种创造性的，开放式的活动，里面充满了游戏和探索。比如使用以不同方式连接的彩色块来学习数字，将这些形状组合在一起，用它们讲述不同的故事。

郑乐隽还记得妈妈教她如何画 “x 平方”的图形，当她看到“一的平方是一，二的平方是四，三的平方是九……”被妈妈魔术般地变成一幅画时，“我记得当时坐在家里的绿色大椅子上，感觉大脑正在爆炸。后来，每当我遇到一个新的概念时，仍然会有同样的感觉。”

她对此觉得幸运，因为小时候母亲就让她看到了数学极为色彩斑斓、充满奇妙与想象的一面，与课本里展示的内容完全不同。

“这让我有了一个坚定的信念：数学不仅仅是课本里的东西，更是一门有趣、神秘、令人兴奋、又令人难以置信的学问。”

02

“我能理解孩子为什么讨厌数学”

郑乐隽与数学的“初恋”，在小学阶段不断走下坡路，到了初中，更是开始“彻底厌恶这门学科”，觉得它既乏味又迂腐。

“然而，我一点儿也不责怪我的老师，这都是课程设置和考试制度的问题。”

可能也正因此，郑乐隽特别能理解为什么现在很多孩子会抗拒数学、厌恶数学—— 理由或许很简单：孩子本就倾向于抗拒一切无趣的事物。

而在十来岁，当她开始接触少许高等数学之后，情况有了一些改观，尤其是普通中等教育证书(GCSE)的研究项目，令她重拾对数学的乐趣。“那都是一些开放性的课题，每个学期需要花费几周的时间来完成。 我们从一个结构严谨的问题出发，独立探索由它引发的无限可能性。”

上了大学后，事情开始“真正好转”。等到攻读博士学位时，郑乐隽对数学的喜爱程度已经超过了曲线所能表示的范围——而那个时候她已经不再上课，完全是通过阅读、集体讨论以及参加研讨会来进行学习。

可以看出， 一个孩子对数学的好恶，和他是否为天赋型选手并没有绝对的因果关系，而是取决于他对数学的信念——“数学是什么”，“数学怎么学”。

郑乐隽表示，人们常认为数学和高智商是孪生关系，但这犯了固定思维的错误。科学研究已经证明，智力是一种动态成长的综合要素，它很宽泛，它在不断生长，所以最无知的不是“笨小孩”，而是给孩子贴上负面标签的大人。

另外，人们往往高估了“学数学”这件事所需的天赋。她承认，要成为拉马努金那样的数学家，天赋的确非常很重要，“必须是一个不世奇才，对数字有一种令人无法理解、近乎魔法般的解读能力，并且有能力从迷雾中找到真相”。

然而拜托，基础教育的“学数学”和拉马努金之间的距离，遥远到任何恐慌都是小题大作。

多年来，郑乐隽作为美国芝加哥艺术学院（School of the Art Institute of Chicago）的常驻科学家，坚持给一群“艺术生”授大学数学课程。

这些学生里，并不乏中国及其他亚洲地区的孩子，本该人均考霸的他们，多数却视数学如“猛虎”。为了逃避数学被迫选择人文学科的，大有人在。

郑博士问，是什么让你们觉得如此不愉快，学生的回答集中在几个方面： “背诵”“定期测验”“正确和错误的答案”以及“因为犯错误而感到愚蠢”。

这些原因，都并不直接与数学有关。主语换成其他学科，情况没有什么不同。

幸运的是，在上过郑博士的课后，很多“艺术生”都说他们打开了一个新世界，前所未有地体会到数学独特的乐趣与奥妙。他们难以想象，曾经痛恨并想要逃离的学科，最终会以一副全新的可爱面貌迎接他们。

而如她所料，“艺术生”“文科生”对数学常常有着更加敏感的、更具想象力的观察，并不比擅长测试的“考霸”们逊色。

“数学并不是像考试题里的那样。”郑乐隽想告诉所有孩子这一点，“ 学生厌恶数学的原因是非常不幸的，但完全不是基于数学真正的本质。”

非黑即白的世界

才不是数学

在郑乐隽这样的数学家眼里，传统教育把数学的唯一目标，变成了“获取标准答案”，于是，孩子们眼里的数学学习，也自然地等同于做题和拿到高分。许多数学教材只关注那些复杂的公式，却没有教会孩子如何跳出题海，正视数学本身究竟为何物。

她所希望的，是消除学生对数学狭隘的、缺乏想象力的认识，用有趣的数学思维理解我们的真实世界。

01

一加一不等于二？

相比又快又准心算的孩子， 郑乐隽更希望看到的，是孩子对数学内在的好奇。看到父母们在互联网上贴出的无忌童言，她常常感到兴味盎然：

如果我给你一块蛋糕，再给你一块蛋糕，那么现在你有几块蛋糕？

一块都没有，因为我把它们都吃掉了。

瞧，在孩子的世界里，1+1未必等于2——

1+1可能等于1。“就像一位艺术系学生指出的那样，如果把一种颜料与另一种颜料混合在一起，只能得到一种颜色。”

1+1可能大于2。“把一只公兔子与一只母兔子放在一起，之后很可能得到一大群兔子。”

……

一位刻板严肃的数学老师可能会觉得，这些都是牵强附会，并非真正意义上的“相加”。然而在数学家眼里，这些假设和猜想，恰恰代表了数学王国的起源。

数学家更希望去研究而不是忽略这些具体的场景，只有更好地了解它们，才能更深入地理解在什么情况下1+1等于2。就好比郑乐隽在学驾照时，教练曾让她故意把车搞熄火，这样才能更好地了解离合器的作用。

“探索某件事什么时候不起作用，能让我们更好地理解它什么时候起作用。”

很多人都觉得数学是绝对理性的，因为数学通常来自于严格强加的规则。“这种非黑即白的僵化世界观，仅仅是对数学的一种极为狭隘的理解。”

抽象的数学其实并没有明确的正误之别。数学是理性的，但也是感性的。越是高深的数学研究，越是富有感情，也正是这些类似“1+1为什么等于2”这种微小、简单、天真、浪漫的问题，在推动着数学前沿的发展。

数学不仅关乎得到正确的答案，而且关乎如何知道答案是正确的。比方说，乘法表，小学生都要背诵。“数学高手”往往很快就掌握了基本的乘法表。这让人觉得他们好像记住了所有的内容，然后制造了一种假象，即背诵乘法表是学好数学的关键。

事实并非如此，郑乐隽的导师马丁·海兰给她讲了一个他小时候与乘法表的故事：

在他8岁的时候，班里每天都要测验乘法表，如果有学生连续3天答对了所有的问题，那就不需要再参加测验了。

他是班里唯一一个从未答对所有问题的孩子，也是班里唯一一个后来成为享誉世界的数学家和剑桥大学教授的人。

正如他所说，他“总是记不住那些看似毫无意义的事情”，但是“对见解形成的过程有良好的记忆力”。

抽象数学就是见解形成的过程，但可惜的是，太多的孩子把乘法表当成只需要死记硬背的无意义的工具。

一个非常有趣的现象是，数学家热爱数学的原因，其实与厌恶者讨厌它的原因一样：他们喜爱数学的精妙之处和细微差别，并用它们来表述、探索生活中最有趣的东西。

从根本上说，数学逻辑体现的不是一个不明确的答案，而是一个可以不断让我们在其中探索各类真相的世界。

郑博士坦言，如果孩子觉得自己不擅长数学，那么完全有可能， 他只是在探寻对数学更深层次的理解，而身边没有人能帮助到他。

02

数学规则并不是为了“束缚”

学生们形成这样一种印象：数学源自权威，真理自上而下传达，就像法令，必须循规蹈矩，不能质疑。

这不仅是对数学的曲解，而且是传递给孩子们的危险态度。

宣称某事永远正确，就像为其构筑了一道高墙。“ 当数学成了一个不得不去遵守的规则世界，难怪它会给人僵化、枯燥之感。相比之下，我对数学的热爱，源于我对打破规则的热爱。”

很多教育者对于数学规则的理解，完全本末倒置了。

举个例子：为什么在“质数”里，不把“1”包含进去？

一般老师的解释会是，这是数学上的规则；博学的老师的解释会是，欧几里得就是这么说的。

然而，数学家在规定“质数”的概念时，不在于这个名字听上去很酷，而是因为他们思考问题的时候需要这么一个工具和脚手架。

事情是这样的：1不是一个合格的、利用乘法规则构建自然数世界所需的基本构成要素， 所以，数学家“抛弃”了它，这和任何人的“规定”没有关系。

也就是说，规则并非不可置疑，规则的出现，是由于解决问题的需要。

数学的规则，不是一种束缚，而是一种思考方式。数学的本质，是解决问题的手段。

儿童的天性是喜欢寻找反例，这恰恰是数学所真正需要的。可传统的教育体系，已经和数学的本质背道而驰。

郑乐隽说，以她个人的力量无法改变世界上的考试制度，这是她写了那么多书，甚至到脱口秀节目去科普数学的原因。

此外，她觉得家长也有很多可以做到的事情，能帮助孩子朝着健康的方向，激发对于数学的兴趣。而做到这一点的家长，不需要是专业的数学家。

“第一步，家长别说自己数学差”

郑乐隽观察到家长很喜欢问这样一个问题：我数学也不好，请问我该怎么辅导孩子的功课？

她强调，“相当多的父母习惯性地表达他们对于数学的惊慌。 我认为第一件非常重要的事情是，不要只是宣布你的数学不好。这听上去像一种辩护——似乎数学不好很正常，数学不好也没关系。”

就像打哈欠会传染，“math phobia”（“数学恐惧症”）也会传染。孩子的心理格外敏感，能够清晰地感受到养育者对事物的真实态度。 因此在郑博士看来，首要的就是家长改变对数学的态度与认知。

01

恭喜孩子提出了伟大的问题

在学校的数学课上，我们总是强调如何回答问题，反而忽视如何提出问题。

回到家，很多家长会自责，数学水平早就还给了学校，没法顺利地辅导孩子功课了。可是，这依然是结果导向，不是么？一道道待解的课后习题，等着孩子去填满。

郑乐隽说，这是孩子自己的功课，不是家长的功课。如果只是为了得到确定答案，AI已经大部分能够做到。

当孩子向家长提问时，他们期待的回答不会是“爸妈数学不好”或是“问人工智能吧”。郑博士表示， 我们真正不妨做的，是恭喜孩子提出了伟大的问题。

她授课时，总是鼓励学生提出探索性的问题。人们往往把问题分成“好问题”和“蠢问题”两类，但她更倾向于把问题分为孩子真正想要深入理解某些事物的问题，和那些试图展示自己有多聪明的问题。

孩子为了真诚地理解某些事物而提出的问题，在她看来都是好问题，而且乍看之下，越幼稚的问题越能引发我们的思考。

比如，一个圆究竟有几条边：一条都没有（因为没有直线边）、一条边（整个一条曲线），还是有无数条极短的边？

当家长收获这些“奇奇怪怪”的提问时，不如给孩子诚恳的夸赞，“你真的发现了一个好问题！”；就算大人无法直接回答这些提问，也不要用恐慌、逃避的态度面对，可以带孩子尝试寻找它们的解决方案，并从中鼓励孩子更多地提问。

“ 积极鼓励孩子提出那些貌似天真，但难以回答的问题，尤其是当你不知道该如何回答的时候。我希望我们都能学会用孩子般的心态接近数学，既不要求自己无所不知，也不期望他人全知全能。相反，我们应当把每一个不理解的时刻，都当作拓展自己和孩子思维的大好机会。”

02

“迟钝”一点的孩子，更像数学家

正如诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼在《思考，快与慢》中提到，人脑中往往拥有两套思考系统，即“快思考”与“慢思考”。

在传统教育与标准化考试下，“快”成了绝对的王道。孩子越来越被要求快思考，与之相对应地，也正丧失着慢思考的能力。

和快思考相反，慢思考是主动的、自发的，因为慢思考需要努力集中注意力，并进行有意识的思考。

在郑博士看来， 以为答案相同并非理所当然的孩子，要比认为它的确理所当然的人更像数学家。但是后者更有可能以最快的速度完成作业，并受到表扬，而前者坐在那里苦苦思索，对数学似乎有那么一点儿迟钝。

她认为从广义上来说，有三个原因让数学成为正规教育的重要组成部分。

前两个原因分别是 实用性和 基础性。

但第三个原因往往被忽略——即 数学是一种思维方式（比如郑博士主研究的“范畴论”所突出的抽象性思维），可以在几乎所有领域发挥强大的作用，它具有超高的广泛相关性。

“从某种程度上说，数学作为一种思维方式也最不被重视。我们的教育其实走错了方向。”

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